segunda-feira, 19 de março de 2012

Progressão Aritmética e Triângulos: Descobrindo a hipotenusa de um triângulo retângulo com seus lados em P.A.

Hoje na prova de matemática sobre Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG) tivemos um exercício envolvendo geometria plana e P.A. bastante interessante que era mais ou menos assim:
Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A.. Sabendo que a razão é 2, qual a medida da hipotenusa?
Primeiro precisamos saber a definição de um triângulo retângulo, que é aquele que possui dois lados agudos (ângulos entre 0º e 90º) e um reto (ângulo de 90º).
Nesse triângulo podemos identificar alguns elementos, entre eles os catetos, que são os lados menores, e a hipotenusa, que é o lado maior.
Triângulo retângulo e seus elementos
A propriedade dos triângulos retângulos é o teorema de Pitágoras, que diz que "o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos", escrito matematicamente da seguinte forma:
h² = CA² + CA²
Sabendo essas informações, vamos passar ao problema:
1 - Começando com a informação que os lados do triângulo estão em P.A. e sabendo que a hipotenusa é a maior medida, podemos concluir que:
cateto1 < cateto2 < hipotenusa 
Escrevendo isso na forma de uma P.A. obtemos:
(cateto1, cateto2, hipotenusa)

2 - Podemos escrever uma P.A. de três termos da seguinte forma:
(x-r, x, x+r)
Pois o primeiro termo é x (valor desconhecido) menos a razão, o termo médio é x e o termo seguinte é x mais a razão (x+r). Como o problema já indica que a razão é 2, ficamos com: 
 (x-2, x, x+2) 

 3 - Agora só precisamos substituir os valores da P.A. anterior no teorema de Pitágoras. Sabemos que um cateto tem o valor de (x-2), outro (x) e que a hipotenusa tem o valor de (x+2).
h² = CA² + CA²
(x+2)² =  (x-2)² + (x)² 
Para resolver essa equação, devemos utilizar o conceito de produtos notáveis:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
Ou seja, fizemos o primeiro termo ao quadrado, mais o primeiro vezes o segundo vezes dois, mais o segundo termo ao quadrado. Ou subtraindo, se for o caso. Aplicando esse conceito, obtemos:
(x+2)² =  (x-2)² + (x)²  
x² + 4x + 4 = (x² - 4x + 4) + (x²)
Agora é só resolver a equação normalmente:
x² + 4x + 4 = 2x² - 4x + 4
x² - 8x = 0
Utilizando o fator comum:
x (x - 8) = 0
Com isso chegamos a resposta que x pode ser 0, ou x-8=0 e x = 8. Como estamos trabalhando com medidas, vamos ficar com o valor 8.

4 - Substituímos o valor x na P.A. que construímos no passo 2
(x-2, x, x+2)  
(8-2, 8, 8+2)
(6, 8 , 10)

Assim obtemos a P.A. (6, 8 , 10), sabendo que a hipotenusa é o terceiro termo, ou seja, mede 10.
Podemos tirar a prova real com o teorema de Pitágoras:
h² = CA² + CA²
10² = 6² + 8²
100 = 36 +64
100 = 100, a resposta está correta!

Ternas Pitagóricas:
Os números 6, 8 e 10 são conhecidos como Ternas Pitagóricas, que são números que possuem a propriedade de que um dos números elevado ao quadrado é igual a soma do quadrado dos outros dois números. Para entender mais sobre eles e até saber como se descobre tais números, eu recomendo ler o artigo As Ternas Pitagóricas, do site Só Matemática.